# New PDF release: Algebra 1 und 2 [Lecture notes]

By Burkhard Külshammer

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Example text

Nach dem Punkt (ii) der Übungsaufgabe 9 enthält dann { am | m ∈ Z } = {1, a, a2 , . . , an−1 } genau n verschiedene Elemente. Genauer gilt, ak = al ⇔ k ≡ l (mod n). Insbesondere gilt für m ∈ Z : am = 1 ⇔ n | m. Für i ∈ Z folgt daraus: ord(ai ) = n/ggT(i,n).. 6 Sei G eine Untergruppe von (K \ {0}, ·) mit |G| = n < ∞. Dann existiert ein a ∈ G mit an = 1 und G = { am | m ∈ Z } = {1, a, . . , an−1 } B EWEIS : Siehe Übungsaufgabe 11. 5 Sei |K| = pn mit (p ∈ P, n ∈ N). Dann existiert ein a ∈ K \ {0} mit K \ {0} = n n {1, a, a2 , .

Rϕ := (ra0 , ra1 , . . ) für ϕ = (a0 , a1 , . . ), ψ := (b0 , b1 , . . ) ∈ P, r ∈ K. Setzt man ϕψ = (c0 , c1 , c2 , . . ) mit c0 = a0 b0 , c1 = a0 b1 + a1 b0 und ci := j+k=i aj bk , so wird P zu einem kommutativen Ring (Polynomring) mit r(ϕψ) = (rϕ)ψ = ϕ(rψ) für r ∈ K und ϕ, ψ ∈ P. Das Nullelement in P ist das Nullpolynom (0, 0, . . ), Einselement das Einspolynom (1, 0, 0, . . ). Ferner heißt X := (0, 1, 0, . . ) Unbestimmte oder Variable. Für ϕ = (a0 , a1 , a2 , . . ) ∈ P ist ϕX = (0, a0 , a1 , .

Dann existieren Elemente b0 , . . , bn−1 ∈ L mit cn + bn−1 cn−1 + · · · + b1 c + b0 = 0. Daher ist c algebraisch über K(b0 , . . , bn−1 ). 2 ist [(K(b0 , . . , bn−1 ))(c) : K(b0 , . . , bn−1 )] < ∞. Nach dem Beweis von (i) ist [K(b0 , . . , bn−1 ) : K] < ∞. Der Gradsatz liefert [K(b0 , . . 3 ist K(b0 , . . , bn−1 , c) | K algebraisch. Insbesondere ist auch c algebraisch über K. 1 ist K ⊆ F. Insbesondere sind 0, 1 ∈ F. Seien nun b, c ∈ F. Nach dem Punkt (i) ist K(b, c) | K algebraisch und insbesondere b ± c ∈ K(b, c) sowie b · c ∈ K(b, c) algebraisch über K.