D., V.T. Sos, T. Szonyi eds. Miklos's Combinatorics, Paul Erdos is eighty, Vol.1 PDF

By D., V.T. Sos, T. Szonyi eds. Miklos

ISBN-10: 9638022744

ISBN-13: 9789638022745

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Preuve. Les resultats (i) et (ii) sont evidents. Pour (iii), notons que (i) implique que la k-ieme derivee f{k) s'annule en est un entier. De x = 0 sauf si n ::::; k ::::; 2n; dans ce cas f{k) (0) = f(x) = f(1 - x) on tire que f{k) (x) = (-I)k f{k) x) pour tout x, et par consequentque f{k)(I) = (-I)kf{k)(O) estunentier. D Etck 6"·- Quelques nombres irrationnels Theoreme 1. er est irrationnel pour tout r E Q\ {O} . • Preuve. Il suffit de montrer que eS ne peut etre rationnel pour aueun entier positif s (si eI etait rationnel, (eI) t = eS le serait aussi).

La fonetion Zeta admet un prolongement canonique sur le plan complexe prive du point 8 = 1 (la fonetion presente un pole simple en ce point), qui peut etre construit en utilisant des developpements en series entieres. La fonetion complexe qui en resulte est de la plus haute importance pour la theorie des nombres premiers. ) en facteurs premiers; en effet, a partir de la decomposition des entiers, le resultat d'Euler est une simple consequence du developpement en serie entiere : 1 1- p-s 1 1 1 1+-+-+-+··· pS p2s p3s (2) La methode merveilleuse suivante, due aDon Zagier, permet de calculer (( 4) apartir de ((2).

N 1 TI eonvient done d'examiner la situation avee un peu plus de soin et d'apporter quelques ameliorations a la strategie mise en reuvre jusqu'alors. Au lieu de prendre un grand entier n quelconque, on va plutöt eonsiderer des puissanees de 2, e'est-a-dire des entiers de la forme n = 2m . , on va multiplier par 2:~1. On sera alors eonduit a utiliser un lemme elementaire, eas partieulier du theoreme de Legendre evoque dans eet ouvrage (voir page 8) : pour tout n ): 1, la deeomposition en faeteurs premiers de l'entier n!

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by Ronald
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