By G. Doetsch
ISBN-10: 3034859694
ISBN-13: 9783034859691
ISBN-10: 3034859708
ISBN-13: 9783034859707
Der vorliegende Band III bildet mit dem früher erschienenen Band II ein Ganzes, was once auch äusserlich dadurch zum Ausdruck kommt, dass die Teile und Kapitel anschliessend an die von Band II weiternumeriert sind. Gegenüber der früheren Darstellung in meiner Monographie ~Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation» von 1937 hat sich auch in diesem. Band der Stoff auf allen Gebieten stark ausgeweitet. Manches ist ausführlicher dargestellt, anderes ganz neu hinzugekommen, wie die Kapitel über partielle Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten, Kompatibilitätsbedingungen für Randwertprobleme, Differenzengleichungen, Integralgleichungen im unendlichen Intervall, verschie dene mit Laplace-Transformation lösbare Integralgleichungen und ganze Funk tionen vom Exponentialtypus. Letztere bieten ein schier unerschöpfliches Feld für Anwendungen der Laplace-Transformation, und die dargestellten Unter suchungen möchten zu weiteren Forschungen auf diesem Gebiet anregen. Bei den Funktionalgleichungen sei besonders auf die Differenzengleichungen verwiesen, deren Behandlung mit Laplace-Transformation hier zum erstellmal in Buchform vollständig dargestellt ist. An Hand der Theorie der Kettenleiter, der Schrittregler und ähnlicher Probleme ist in letzter Zeit in der Technik ein neu es Interesse an den Differenzengleichungen erwacht, und für die hier vorliegenden Fragen dürfte insbesondere das 22. Kapitel brauchbare Methoden liefern.
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56 18. Kapitel: Partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung Ein einseitig unendlich langer linearer Wärmeleiter (vgl. § 1) bestehe in den Intervallen ~ x ~ a und a ~ x aus zwei verschiedenen Materialien. Das linke Stück habe die konstante Anfangstemperatur A, das rechte die Anfangstemperatur 0. Am linken Ende finde keine Wärmeabgabe statt 29. An der Übergangsstelle x = a müssen die Temperaturen und der Wärmefluss in beiden Richtungen dieselben Werte haben (Figur 11). Bezeichnen wir die Temperatur in dem linken Teil mit U1 (x, t), in dem rechten mit U2 (x, t), so lautet die mathematische Formulierung des Problems: ° " iJ (fX U 1 (+0, t) U1 (a - 0, t) iJ2U22 _ _ iJx iJU2 _ iJt- ° (x> a') " = 0; U2 (a = 2 + 0, t), Hierbei bedeuten k 1 , k2 die Leitfähigkeiten und "1' "2 die Diffusionskoeffizienten.
Wenn wir u(x, s) in einer s-Halbebene mit positiver Abzisse betrachten, so kann - s keinen der positiven Eigenwerte An annehmen. Wir erhalten daher, wenn Uo(x) und q;(x, s) nicht beide identisch verschwinden, die Lösung von (4), (5) in der Form 00 u(x, s) mit = -1: s ~nÄ n=O n un(x) J I cn = also (6) u(x. (x) 1' : '. (x) ,~;. p(x. ,) dX) . *) Statt durch eine Reihe nach Eigenfunktionen kann u(r) auch vennittels einer Greenschen Funktion in Integralform dargestellt werden 35, wovon wir im Fall konstanter Koeffizienten verschiedentlich Gebrauch gemacht haben.
Für diese Grössen gelten die Gleichungen (1) Schreibt man die erste Gleichung in der Form oP ox = - 02p ox2 = - - (R+L0) ot I ' differenziert sie nach x: ( 0) o[ R+L(fi dX und setzt iJljiJx aus der zweiten Gleichung ein, so erhält man eine Gleichung, 39 § 3. Die Telegraphengleichung (Hyperbolischer Typ) die nur P enthält: Eliminiert man auf analoge Weise P, so erhält man offenbar dieselbe Gleichung für I. Wir benutzen daher für P und I promiscue den Buchstaben U und schreiben die Gleichung in der Form (2) mit (3) a=LC, b=RC+LG, c=RG.
Handbuch der Laplace-Transformation: Band 3: Anwendungen der Laplace-Transformation by G. Doetsch
by Charles
4.3