By José Heber Nieto Said
ISBN-10: 9802325732
ISBN-13: 9789802325733
Este libro nació a partir de las notas de varios cursos de matemática discre-
ta y de combinatoria dictados por el autor en los angeles Facultad de Ciencias de la
Universidad del Zulia durante los últimos diez años, para estudiantes de ma-
temática y de computación. Una versión parcial del texto fué utilizada
por estudiantes de esos y otros cursos. En 1988 esta obra fué seleccionada
entre las ganadoras del Concurso de Textos Universitarios auspiciado por
el Vice-Rectorado Académico de LUZ. Sin embargo, dificultades de orden
tipográfico retardaron y finalmente impidieron su oportuna publicación. La
presente edición se debe a l. a. iniciativa del profesor Gustavo Oquendo, quien
preparó l. a. versión en L A TEX en tiempo record.
Esta obra se benefició de los aportes y comentarios de mis alumnos y de
varios colegas del Departamento de Matemática de l. a. F.E.C., en particular
del profesor Genaro González, con quien sostuve largas conversaciones sobre
temas combinatorios. Deseo expresar aquı́ mi agradecimiento a todos ellos,
ası́ como al profesor Gustavo Oquendo y al Instituto de Cálculo Aplicado
de l. a. Facultad de Ingenierı́a de LUZ, en cuyas instalaciones se realizó el
trabajo de composición del texto. Debo aclarar sin embargo que cualquier
posible mistakes es de mi exclusiva responsabilidad. Ası́mismo agradezco al
Vice-rectorado Académico de LUZ el apoyo brindado a los angeles presente edición.
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En Bot´ anica los n´ umeros de Fibonacci aparecen al estudiar la filotaxia, o sea la disposici´ on de las hojas en los ´ arboles, de los fol´ıculos en flores como la del girasol, de las escamas de la pi˜ na, etc. (ver [C3] y [C4]). La relevancia de los n´ umeros de Fibonacci para la teor´ıa de los algoritmos se puso de manifiesto por primera vez en 1844, cuando G. Lam´e la utiliz´ o para analizar el n´ umero de divisiones que se efect´ uan en el algoritmo de Euclides (vea a este respecto el volumen 2 de la obra de D.
Si A1 , . . , An son subconjuntos de un conjunto X entonces n | i=1 Ai | = F ⊂Nn (−1)|F | |AF | Observaciones: Ai es el complemento de Ai respecto a X, es decir X\Ai . En el miembro derecho de la igualdad F puede ser vac´ıo. Seg´ un la convenci´ on A∅ = X el t´ermino correspondiente en la sumatoria es (−1)|∅| |A∅ | = |X|. 2 n Ai | = |X\ ∅=F ⊂Nn i=1 n Ai | = |X| − | (−1)|F | |AF | = F ⊂Nn i=1 Ai | = (−1)|F | |AF | Funciones sobreyectivas Como aplicaci´ on del principio de inclusiones y exclusiones calcularemos el n´ umero de funciones sobreyectivas de un conjunto finito A = {a1 , .
Entonces obviamente E1 = 1. Una escalera de dos escalones puede subirse con un solo paso doble o con dos pasos sencillos, por lo tanto E2 = 2. Para n = 3 hay tres posibilidades: tres pasos sencillos, uno doble seguido de otro sencillo y uno sencillo seguido de otro doble. Por tanto E3 = 3. Es f´ acil ver que la sucesi´ on {En } satisface la misma relaci´ on de recurrencia que los n´ umeros de Fibonacci. En efecto, los modos de subir una escalera de n escalones (con n > 2) pueden clasificarse en dos categor´ıas disjuntas: aquellos en los cuales se pisa el escal´ on n − 1 (y que son obviamente En−1 ) y aquellos en los cuales se llega al escal´ on n−2 y luego 50 se da un paso doble.
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