By Dietrich Grau
ISBN-10: 3446165665
ISBN-13: 9783446165663
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17 -8) gilt für die Matrixdarstellungen beliebiger beschränkter operatorwerti ger Funktionen T (α). ) Anwendung in der Quantenmechanik (s. 22): A = σy Paulimatrix; Sy = 2 σy Matrix der y-Komponente des Spinoperators S eines Spins s = 2 T 36 a1 = + 2 , − β2 =d 2 a2 (1/2) 1 2 in der {ms }-Darstellung (Sz diagonal); = − 2 mögliche Messwerte der Observablen Sy ; (β) , 0 ≤ β ≤ π, Drehmatrix. 5 wurde gezeigt, dass [A, B m ] = im B m−1 gilt. Mit dieser Beziehung folgt unmittelbar M M βm B m ] = [A, G(B)] = [A, m=0 M βm [A, B m ] = i m=0 m βm B m−1 .
B. ∂G(P ) := ∂Pj d 3p | p ∂G(p ) p| . 19 -1) 1 1 1 1 1 [A, F (A, B)] = [A, B 2 ] + [A, B C(A)] + [A, C(A) B ] + [A, (C(A))2 ] , i i i i i 1 [A, B 2 ] = 2B (s. Gl. 5 -1)), i 1 1 [A, B C(A)] = [A, B ] C(A) = C(A) , i i 1 1 [A, C(A) B ] = C(A) [A, B ] = C(A) , i i 1 [A, (C(A))2 ] = 0 i ⇒ A, B + C(A) 2 = 2i B + C(A) . 19 -2) 39 1. Vektoren und lineare Operatoren. Matrixdarstellungen (b) 1 1 1 1 1 [B, F (A, B)] = [B, B 2 ] + [B, B C(A)] + [B, C(A) B ] + [B, (C(A))2 ] , i i i i i 1 [B, B 2 ] = 0 , i 1 dC(A) 1 [B, B C(A)] = B [B, C(A)] = −B (s.
Der Satz {A, B } ist vollständig, da es zu jedem der möglichen Eigenwertpaare {a1 , b2 } , {a2 , b2 } , {a2 , b1 } einen (bis auf einen unimodularen Faktor) eindeutig bestimmten nor mierten gemeinsamen Eigenvektor von A und B gibt, nämlich | f1 bzw. | f2 bzw. | f3 . 24 -23) Lösungen (Diagonalmatrizen mit den Eigenwerten in der Hauptdiagonale). (f ) A−1 , da A den Eigenwert null besitzt ( ⇒ ∃ | u = ∅ mit A | u = ∅ ). B −1 ∃ , da null nicht Eigenwert von B ist. Es gilt (Spektralform von B bzw. von B −1 ): B = | f1 2 f1 | + | f2 2 f2 | + | f3 (−2) f3 | B −1 = | f1 also 1 1 1 f1 | + | f2 f2 | + | f3 − 2 2 2 √ 1 i 2 −1 B | e1 = | e1 + | e2 + 4 √ 4 √ i 2 i 2 | e1 + | e3 B −1 | e2 = − 4 √ 4 1 i 2 | e2 + B −1 | e3 = | e1 − 4 4 ⇒ f3 | = 1 B, 4 1 | e3 , 4 , 1 | e3 .
Übungsaufgaben zur Quantentheorie. Quantentheoretische Grundlagen. by Dietrich Grau
by Richard
4.5